Toro algebraico de tipo Norma sobre una extensión abeliana de Galois

Resumen

El toro algebraico de tipo norma introducido para aplicaciones criptográficas por Karl Rubin y Alice Silverberg, ha sido estudiado sobre una extensión cíclica finita $L/k$ y más específicamente cuando $k=\mathbb F_q$ y $L=\mathbb F_{q^n}$. El presente artículo brinda una descripción algebraica del toro de tipo norma cuando es definido sobre $L$ y $L/k$ es una extensión finita, abeliana y no cíclica con grupo de Galois $G$ isomorfo a $C_{p^r}\times C_{p^s}$. Por otro lado, describe el grupo de puntos $L$-racionales y los $k$-racionales para diferentes primos $p$ cuando $G$ es isomorfo a $C_p\times C_p$. Además, se demuestra que el grupo de puntos $L$-racionales es un subespacio vectorial en el espacio vectorial $\mathbb F_{p^{p^2}}$ sobre $\mathbb F_p$ y más aún se muestra que el grupo de puntos $k$-racionales es isomorfo a $(\mathbb F_p,+)$. Finalmente se construye un ejemplo donde se muestra cómo obtener sobre los campos $p$-ádicos una extensión de Galois con grupo $C_p\times C_p$.}